久留米から鹿児島までの交通手段について、料金、時間、労力の観点から考えてみました。
久留米駅から鹿児島中央駅までの移動手段について、様々な行き方を調べました。

新幹線
例
ＪＲ九州新幹線 つばめ307号 鹿児島中央行
06:29　久留米駅
07:58　鹿児島中央駅

移動時間　1時間29分
運賃料金　9,170円

高速バス
例
ＪＲ鹿児島本線 博多行
06:39　久留米駅
06:55　基山駅

基山町コミュニティバス 高速Ｐ＆Ｒ・けやき台駅・基山駅行
07:00　基山駅
07:09　高速パーク＆ライド

西鉄バス [高速] ノンストップ・鹿児島行
07:23　高速基山
11:02　鹿児島中央駅

移動時間　4時間23分
運賃料金　5,380円

普通電車
例
ＪＲ鹿児島本線 熊本行
07:33　久留米駅
09:05　熊本駅

ＪＲ鹿児島本線 八代行
09:12　熊本駅
09:49　八代駅

肥薩おれんじ鉄道線 快速スーパーおれんじ1号 川内（鹿児島県）行
10:05　八代駅
12:18　川内駅

ＪＲ鹿児島本線 鹿児島中央行
12:31　川内駅
13:21　鹿児島中央駅

移動時間　5時間48分
運賃料金　5,690円

車高速あり
久留米駅から鹿児島中央駅まてのルートで計算
総距離 243.6km
所要時間　3時間22分
一般料金　5,380 円
ETC料金 3,770 円 (普通車)

車の場合はガソリン代がかかります。
1ℓ=10キロ計算　1ℓ=150円計算

243km 24㍑　3,600円 久留米から鹿児島までのガソリン代

高速料金一般+ガソリン代＝8,980円

車高速なし
総距離 246.7km
所要時間　8時間14分

246km 25㍑　3,750円

まとめると
新幹線　1時間29分 9,170円
高速バス　4時間23分 5,380円
普通電車　5時間48分 5,690円
車高速あり　3時間22分　8,980円
車高速なし　8時間14分　3,750円

久留米から鹿児島までは、約250km
早く行きたい方は、新幹線が圧倒的に便利
安く行きたい方は、高速バスか普通電車の乗り継ぎ。
高速バスは、基山から鹿児島中央駅まで乗り換えなしなので、基山まで車で、送ってくれたら労力的にも楽な移動手段。
車は、距離が長いので、サービスエリア等でこまめに休憩を取りましょう。