鹿児島から下関までの交通手段について、料金、時間、労力の観点から考えてみました。
鹿児島中央駅から下関駅までの移動手段について、様々な行き方を調べました。

新幹線
例
ＪＲ九州新幹線 さくら400号 博多行
06:08　鹿児島中央駅
07:45　博多駅

ＪＲ山陽新幹線 のぞみ10号 東京行
07:50　博多駅
08:06　小倉駅

ＪＲ鹿児島本線 下関行
08:17　小倉駅
08:34　下関駅

移動時間 2時間31分
運賃料金　12,080円

高速バス
例
高速バス 南九号 博多駅筑紫口行
06:15　鹿児島中央駅
10:10　博多駅筑紫口

ＪＲ鹿児島本線区間快速 門司港行
10:25　博多駅
11:46　小倉駅

ＪＲ鹿児島本線 下関行
11:53　小倉駅
12:07　下関駅

移動時間 5時間52分
運賃料金　5,270円

高速バス夜行
夜移動し朝早くから観光したいパターン
博多から特急電車を組み合わせたりすることでまだ朝早くつく
例
福岡-鹿児島/桜島号[高速バス] 高速バス [夜行]桜島号 博多駅・天神行
23:40　鹿児島中央駅前〔南国高速ＢＴ〕
05:50　博多バスターミナル〔博多駅〕

ＪＲ鹿児島本線 小倉（福岡県）行
06:09　博多駅
07:26　スペースワールド

ＪＲ鹿児島本線 下関行
07:32　スペースワールド
08:01　下関駅

移動時間 8時間21分
運賃料金　7,470円

車
鹿児島中央駅から下関までのルートで計算
総距離 361.5km
所要時間 4時間44分
一般料金 7,810 円
ETC料金 5,360 円 (普通車)

車の場合はガソリン代がかかります。
1ℓ=10キロ計算　1ℓ=150円計算

361km 36ℓ　5,400円 鹿児島から下関までのガソリン代

高速料金一般+ガソリン代=12,410円

まとめると
新幹線　2時間31分　12,080円
高速バス　5時間52分　5,270円
高速バス夜行　8時間21分　7,470円
車 4時間44分 12,410円

鹿児島から下関までは、約360km
新幹線で約2時間半。早く行きたい場合は、新幹線。一番楽。
労力と時間はかかるが安く行く方法としては、高速バス。
車の場合は、ナビよりも休憩がとれるように十分余裕のある計画を立てましょう。