北九州から武雄までの交通手段について、料金、時間、労力の観点から考えてみました。
小倉駅から武雄温泉駅までの移動手段について、様々な行き方を調べました。

新幹線
例
ＪＲ山陽新幹線 こだま853号 博多行
06:58　小倉駅
07:15　博多駅

ＪＲ鹿児島本線 特急みどり1号 佐世保行
07:29　博多駅
08:38　武雄温泉駅

移動時間 1時間40分
運賃料金　4,650円

普通電車+バス
例
ＪＲ鹿児島本線快速 博多行
05:46　小倉駅
06:54　博多駅

ＪＲ鹿児島本線区間快速 大牟田行
07:04　博多駅
07:37　鳥栖駅

ＪＲ長崎本線 肥前山口行
07:51　鳥栖駅
08:37　肥前山口駅

祐徳バス 武雄線 下西山車庫行
08:59　肥前山口駅
09:28　武雄温泉駅前

移動時間 3時間42分
運賃料金　3,170円

車高速あり
小倉駅から武雄温泉駅までのルートで計算
総距離 144.8km
所要時間　1時間56分
一般料金　3,680 円
ETC料金 3,680 円 (普通車)

車の場合はガソリン代がかかります。
1ℓ=10キロ計算　1ℓ=150円計算

144km 15ℓ　2,250円

高速料金一般+ガソリン代=5,930円　北九州から武雄までのガソリン代

車高速なし
総距離 132.0km
所要時間　4時間24分

132km 13ℓ　1,950円

まとめると
新幹線　1時間40分　4,650円
普通電車+バス　3時間42分　3,170円
車高速あり　1時間56分 5,930円
車高速なし　4時間24分 1,950円

武雄は図書館だったり御朱印、大楠、いろいろありますね。
わりと嬉野も近いのでセットで観光の方はいろいろ調べてもいいかもです。